Tổng hai lập phương là hằng đẳng thức thứ 6 thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em được học trong chương trình Toán THCS.
Bạn đang đọc: Tổng hai lập phương: Công thức và bài tập
Công thức Tổng hai lập phương được vận dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kì hiệu quả. Chính vì vậy trong bài học hôm nay Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn công thức Tổng hai lập phương, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án giải chi tiết. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: bài tập hằng đẳng thức, bài tập bình phương của một tổng, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Tổng hai lập phương
1. Tổng hai lập phương là gì?
Tổng hai lập phương bằng tổng biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai nhân bình phương của biểu thức thứ nhất trừ tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng bình phương của biểu thức thứ hai.
2. Công thức tổng hai lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
3. Bài tập tổng hai lập phương
Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3x2 + 3x + 13) – 26
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) (4x – 2)3 + 8
b) a6 – b6
c) (a + b)3 + (a – b)3
Bài 3: Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x2 + y2 = a2 + b2 (2)
Chứng minh rằng : x3 + y3 = a3 + b3
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
Bài 5: Cho các biến x, y thỏa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + y3 + 3xy
4. Đáp án bài tập tổng hai lập phương
Bài 1
a) (x + 3)(x 2 – 3x + 9) – (54 + x 3 )
= (x+3)(x 2 – 3x + 3 2 ) – (54 + x 3 )
= (x 3 + 3 3 ) – (54 + x 3 )
= 3 3 – 54
= 27 – 54 = -27
b) (x + 4)(x2 – x + 7) – (x3 + 3x2 + 3x + 13) – 26
= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)2 – 3(x + 1) + 32 ] – (x +1)3 – 26
= [(x + 1)3 + 33] – (x +1)3 – 26
= 33 – 26 = 27 – 26
=1
c) (a – b + 1)[a2 + b2 + ab – (a + 2b) + 1] – (a3 + 1)
= [a+(1 – b)][a2 – a(1 – b) + (1 – b)2 ] – (a3 + 1)
= [a3 + (1 – b)3] – (a3 + 1)
= (1 – b)3 – 1
Bài 2
a) (4x – 2)3 + 8 = (4x – 2)3 + 23
= [(4x – 2) + 2][(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 22]
= 4x[(4x – 2)2 – 2(4x – 2)+ 4]
= 16x[(2x – 1)2 – 2x +2]
b) a6 – b6
= (a2)3 – (b2)3
= (a2 – b2 )(a4 – a2b2 + b4)
= (a – b)(a + b)(a4 – a2b2 + b4)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a – b) + (a – b)2]
= 2a[(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab +b2)]
= 2a( a2 + 3b2)
Bài 3
Ta có:
x + y = a + b ⇒ ( x + y)2 = (a + b)2
⇔ x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2
Mà từ (2) ta có : x2 + y2 = a2 + b2 ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.
Bài 4
Ta có:
a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)((a + b)2 – c(a + b) + c2) -3ab(a + b + c)
= (a+b+c)( a2 + 2ab + b2 – (ac + bc) + c2 – 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Vậy suy ra : a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0
Do đó : a3 + b3 + c3 = 3abc (điều phải chứng minh)
* Chú ý: đẳng thức a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.
Bài 5
Ta có :
x3 + y3 + 3xy
= (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy
= 1.(x2 – xy + y2 ) + 3xy
= x2 + 2xy + y2
= (x+y) 2
= 1
