Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X là một trong những dạng bài tập cơ bản Toán 9 và cũng là tài liệu không thể thiếu dành cho các học sinh chuẩn bị thi vào 10 tham khảo.
Bạn đang đọc: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X
I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X
Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
- Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)
- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
II. Ví dụ chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào X
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
B = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
Chứng minh
Ta có:
B = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
= x2.x – x2.2 – x.x2 – x.x – x.1 + x.3x + x.1
= x3 – 2x2 – x3 – x2 – x + 3x2 + x
= (x3 – x3) + (3x2 – 2x2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
Chứng minh
Ta có: A = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
A = x2(x + 1) – x.(x + 1) – x2(x – 1) – x(x – 1)
= x3 + x2 – x2 – x – x3 + x2 – x2 + x
= (x3 – x3) + (x2 – x2 + x2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trụ của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y
A = (x – y).(x + y) + (y – x).(y + x) + 10
Chứng minh
Ta có:
A = (x – y).(x + y) + (y – x).(y + x) + 10
= x(x + y) – y(x + y) + y.(y + x) – x(y + x) + 10
= x2 + xy – xy – y2 + y2 + xy – xy – x2 + 10
= (x2 – x2) + (y2 – y2) + (xy – xy + xy – xy) + 10
= 0 + 0 + 0 + 10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A là 10 và không phụ thuộc vào x và y.
Ví dụ 4:
Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến.
A = (x – y2).(x + y2) + (y2 – 2).(y2 + 2) – x2
Chứng minh
A = (x – y2).(x + y2) + (y2 – 2).(y2 + 2) – x2
= x(x + y2) – y2(x + y2) + y2(y2 + 2) – 2(y2 + 2) – x2
= x2 + xy2 – xy2 – y4 + y4 + 2y2 – 2y2 – 4 – x2
=(x2 – x2) + (xy2 – xy2) + (y4 – y4) + (2y2 – 2y2) – 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến
Ví dụ 5:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2x2 – 2 – 4x)
Chứng minh
A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2x2 – 2 – 4x)
= 2x(1 – x2) – 4(1 – x2) + 2x3 – 2x – 4x2
= 2x – 2x3 – 4 + 4x2 + 2x3 – 2x – 4x2
= (2x – 2x) + (2x3 – 2x3) + (4x2 – 4x2) – 4
= 0 + 0 + 0 – 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x
Ví dụ 6:
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y
A = (9x – 2y).(x – y) + y(3x – 2y) + (1 – x).(1 + x)
Chứng minh
A = (9x – 2y).(x – y) + y(3x – 2y) + (1 – x).(1 + x)
A = x2 – xy – 2xy + 2y2 + 3xy – 2y2 + 1 + x – x – x2
A = (x2 – x2) + (-xy -2xy + 3xy) + (2y2 – 2y2) + (x – x) + 1
A = 0 + 0 + 0 + 0 + 1
A = 1
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y
