Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

Công thức Tích phân là những công thức quan trọng giúp các em lớp 12 ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán liên quan đến tích phân và cho ra kết quả chính xác.

Bạn đang đọc: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán thì số lượng công thức cần ghi nhớ là không hề nhỏ. Đối với các bài thi trắc nghiệm, điều cần thiết là các em học sinh cần nắm kiến thức rộng và có phương pháp giải nhanh hiệu quả để có thể ghi điểm nhiều nhất. Dưới đây tổng hợp toàn bộ kiến thức về dấu tích phân, bảng tích phân, ứng dụng kèm theo một số dạng bài tập. Hi vọng tài liệu này sẽ là người bạn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục 9+ môn Toán. Bên cạnh cách tính tích phân các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Công thức tích phân đầy đủ, chính xác nhất

    I. Lý thuyết Tích phân

    1. Tích phân là gì?

    Là phép lấy tích phân là cách ta muốn biểu diễn quy trình ngược lại của phép lấy đạo hàm.

    Ví dụ: Nếu ta biết rằng:Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập và ta muốn biết hàm số nào đã đạo hàm ra được hàm số này?

    Ta có Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập là một nguyên hàm của Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập . Ngoài ra ta còn vô số nguyên hàm khác, chẳng hạn như: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Tổng quát, ta nói Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập là tích phân bất định (hay nguyên hàm) của Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập. Con số ? được gọi là hằng số tích phân.

    2. Dấu tích phân

    Ký hiệu ∫ hình thành bởi sự kéo dài ký tự “?” viết tắt của chữ “sum” (tổng) (Người Đức, Anh thời xưa viết chữ “?” giống với ký hiệu tích phân bây giờ). ∑ là ký hiệu của “tổng”. Nó được dùng cho tổng hữu hạn hay vô hạn. ∫ là ký hiệu của tổng hữu hạn các diện tích vô cùng nhỏ (hoặc các biến vô cùng nhỏ khác). Ký hiệu chữ “?” dài này được Lebniz giới thiệu khi ông phát triển một số khái niệm của tích phân.

    3. Tích phân hằng số

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập (? và ? là các hằng số).

    4. Tích phân lũy thừa của ?

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức này đúng khi ? ≠ −1. Khi tích phân lũy thừa của ?, ta thêm 1 vào lũy thừa và chia biến lũy thừa mới cho giá trị lũy thừa mới.

    II. Bảng tích phân

    1. Tích phân cơ bản

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    2. Tích phân từng phần

    Công thức tính tích phân từng phần:

    Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Lấy tích phân cả hai vế ta được:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Từ đây ta có công thức sau:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    3. Tích phân lượng giác

    Giả sử ta cần tính tích phân

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập.

    Thật vậy: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    4. Tích phân xác định

    Cách tính tích phân xác định:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    • ?(?) là nguyên hàm của ?(?).
    • ?(?) là giá trị nguyên hàm ứng với cận trên ? = ?.
    • ?(?) là giá trị nguyên hàm ứng với cận dưới ? = ?.

    Biểu thức này gọi là tích phân xác định.

    5. Tích phân không xác định

    Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là f (x) dx: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    • Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập trong đó A là hằng số
    • Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    6. Tích phân hàm số hữu tỉ

    Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên:

    a) Dạng I:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    b) Dạng II:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    c) Dạng III:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Ta xét tích phân thứ hai ở vế phải. Đặt Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Ta có: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    d) Dạng IV:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    III. Ứng dụng tích phân

    1. Ứng dụng Công

    Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

    Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. Ta dùng: Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập với F(x) là lực.

    2. Ứng dụng giá trị trung bình

    Giá trị trung bình của hàm ?(?) trong miền ? = ? đến ? = ? được xác định bởi: Trung bình = Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    3. Ứng dụng quãng đường

    Nếu ta biết biểu thức vận tốc ? theo thời gian ?, ta có thể biết quãng đường ? của một vật thể khi đi từ thời gian ? = ? đến ? = ? bằng tích phân như sau:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Chú ý: Bạn có thể thấy từ những ứng dụng của tích phân trong công, tính giá trị trung bình, tính quãng đường, tích phân xác định không chỉ đơn thuần dùng để tích diện tích dưới đường cong.

    IV. Bài tập tích phân

    Câu 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] và Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập Tìm mệnh đề đúng

    trong các mệnh đề sau.

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Câu 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoàng K và a, b, c in K. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Câu 3: Cho hàm số f(t) liên tục trên K và a,Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập, F(t) là một nguyên hàm của f(t) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Câu 4: Cho hai tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tậpCông thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập. Giá trị của tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tậplà:

    A. m-n.

    B. n-m.

    C. m+n.

    D. Không thể xác định.

    Câu 5: Cho tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tậpCông thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập. Tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập có giá trị là:

    A. m+n.

    B. m-n

    C. -m-n.

    D. Không thể xác định.

    Câu 6: Tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập được phân tích thành:

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    Câu 7: Cho Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập. Tính tích phân Công thức Tích phân: Lý thuyết và bài tập

    A. -9.

    B. -3.

    C. 3 .

    D. 5 .

    Để lại một bình luận

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *