Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Giải Toán lớp 9 trang 68, 69, 70 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và 9 bài tập trong SGK bài 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông thuộc Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bạn đang đọc: Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Giải Toán 9 Bài 1 tập 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 68, 69, 70 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    I. Trả lời câu hỏi trang 66, 67 SGK Toán 9 tập 1

    Câu hỏi 1 

    Xét hình 1. Chứng minh Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông . Từ đó suy ra hệ thức (2)

    Lời giải chi tiết

    Ta có: Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Xét tam giác AHB và tam giác CHA có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên hai cạnh huyền.

    Câu hỏi 2 

    Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

    Lời giải chi tiết

    Xét tam giác ABD và tam giác CAB có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông chung

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy ta có trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

    II. Giải bài tập toán 9 trang 68, 69, 70 tập 1

    Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

    Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:

    Áp dụng định lí Pytago vào Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Áp dụng hệ thức lượng vào Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Lại có HC=BC-BH=10-3,6=6,4

    Vậy x =BH= 3,6; y=HC = 6,4.

    b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới

    Áp dụng hệ thức lượng vào Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Lại có: HC=BC-BH=20-7,2=12,8

    Vậy x=BH = 7,2; y=HC = 12,8.

    Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1)

    Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    Ta có: BC=BH + HC=1+4=5.

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (với x > 0)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (với y> 0)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

    Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A. Theo định lí Pytago, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Áp dụng hệ thức liên quan đến đường cao trong tam giác vuông, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

    Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    Theo định lí 2 ta có:

    22 = 1.x => x = 4

    Theo định lí 1 ta có:

    y2 = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20

    => y = √20 = 2√5

    III. Giải bài tập toán 9 trang 69, 70 tập 1: Luyện tập

    Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

    Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH có AB=3, AC=4. Ta cần tính AH, BH và CH.

    Áp dụng định lí Pytago cho Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

    *Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

    Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

    Gợi ý đáp án 

    ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    BC = BH + HC = 1 + 2 = 3

    Theo định lí 1: AB2 = BH.BC = 1.3 = 3

    => AB = √3

    Theo định lí 1: AC2 = HC.BC = 2.3 = 6

    => AC = √6

    Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.

    Bài 7 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1)

    Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngGợi ý đáp án 

    Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại A.

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vì vậy AH2 = BH.CH hay x2 = ab

    Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.

    Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

    Tìm x và y trong mỗi hình sau:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án 

    Đặt tên các điểm như hình vẽ:

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy x=6

    b) Đặt tên các điểm như hình vẽ

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại D, đường cao DH. Áp dụng hệ thức Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta được:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    c) Đặt tên các điểm như hình vẽ:

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại P, đường cao PH. Áp dụng hệ thức Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông‘, ta được:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngvuông tại H. Áp dụng định lí Pytago, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Vậy x=9, y=15.

    Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1)

    Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

    a) Tam giác DIL là một tam giác cân

    b) Tổng Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Gợi ý đáp án

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    a) Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    AD=CD (hai cạnh hình vuông)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Do đó Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (g.c.g)

    Suy ra DI=DL.

    Vậy Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông cân (đpcm).

    b) Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vuông tại D, đường cao DC.

    Áp dụng hệ thức Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (mà DL=DI)

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Do DC không đổi nên Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuônglà không đổi.

    Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Nếu đề bài không cho vẽ Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông thì ta vẫn phải vẽ đường phụ Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để có thể vận dụng hệ thức trên.

    IV. Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    I. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

    * Phát biểu: Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

    * Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngGiải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Chứng minh:

    + Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngGiải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngchung

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (g.g) Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông(đpcm)

    II. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

    1. Định lí 1

    * Phát biểu: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

    * Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng :Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Chứng minh:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    + Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngGiải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngchung

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (g.g) Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cặp góc tương ứng tỉ lệ)

    + Xét Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngGiải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông(cmt)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông(g.g) Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

    (đpcm)

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    2. Định lý 2

    * Phát biểu: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

    * Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Chứng minh:

    + Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông(đpcm)

    3. Định lý 3

    * Phát biểu: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

    * Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Chứng minh:

    + Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

    Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông(đpcm)

    !Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm và AC = 8cm và đường cao AH. Tính BC, AH, BH và HC.

    + Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

    • Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (Pytago)

    Thay số tính được BC = 10 (cm)

    • Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

    Thay số tính được AH = Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cm)

    • ·Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

    Thay số tính được BH = Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cm)

    • ·Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

    Thay số tính được HC = Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (cm)

    Để lại một bình luận

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *