Giải Toán lớp 9 trang 11, 12 tập 2 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bạn đang đọc: Giải Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải Toán 9 Bài 2 trang 11, 12 tập 2 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 11, 12 tập 2 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.
Giải Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 2
Câu hỏi trang 8
Xét hai phương trình bậc nhất hai ẩn 2x+y=3 và x-2y=4.
Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.
+ Cặp số là nghiệm của phương trình ax+by=c khi
thỏa mãn hệ thức
Lời giải chi tiết
+ Thay x=2;y=-1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được 2.2 + (-1) = 3 (luôn đúng)
cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình 2x + y = 3
+ Thay x=2;y=-1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được 2 – 2 .(-1) = 4 4=4 (luôn đúng)
cặp số (x; y) = (2; -1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4
Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.
Câu hỏi trang 9
Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.
Lời giải chi tiết
Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (xo; yo) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.
Giải bài tập Toán 9 trang 11 tập 2
Bài 4 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 2)
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:
a)
b)
c)
d)
Xem gợi ý đáp án
a) Ta có:
Ta có a = -2, a’ = 3 nên a ≠ a’.
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
b) Ta có:
Ta có và
nên a = a’, b ≠ b’.
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Ta có:
Ta có nên a ≠ a’
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau nên hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.
d) Ta có:
Ta có a = 3, b = -3 và a’ = 3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’.
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Bài 5 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:
a)
b)
Xem gợi ý đáp án
a) Ta có:
+) Vẽ (d): y=2x-1
Cho x = 0 ⇒ y = -1, ta được A(0; -1).
Cho , ta được
.
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
+) Vẽ (d’):
Cho x = 0 , ta được
Cho y = 0 ⇒ x = -1, ta được D = (-1; 0).
Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm C, D.
+) Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ M( 1, 1).
Thay x = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được:
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 1).
b) Ta có:
+) Vẽ (d): y=-2x+4
Cho x = 0 ⇒ y = 4, ta được A(0; 4).
Cho y = 0 ⇒ x = 2, ta được B(2; 0).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
Vẽ (d’): y=x+1
Cho x = 0 ⇒ y = 1, ta được C(0; 1).
Cho y = 0 ⇒ x = -1, ta được D(-1; 0).
Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm C, D.
Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ N(1;2).
Thay x = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được:
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2).
Bài 6 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 2)
Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.
Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).
Xem gợi ý đáp án
Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng (rỗng).
Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:
Hệ (I) và hệ (II) đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình (II) được biểu diễn bởi đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).
Giải bài tập toán 9 trang 11 tập 2: Luyện tập
Bài 7 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Xem gợi ý đáp án
a) Ta có:
+)
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát là:
+)
Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau:
b) +) Vẽ (d): y =-2x+ 4
Cho x = 0 ⇒ y = 4 được A(0; 4).
Cho y = 0 ⇒ x = 2 được B(2; 0).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
+) Vẽ (d’):
Cho x = 0 ta được
Cho y = 0 , ta được
Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm M, N.
Hai đường thẳng cắt nhau tại D(3; -2).
Thay x = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được:
2 . 3 + (-2) = 4 và 3 . 3 + 2 . (-2) = 5 (thỏa mãn)
Vậy (3; -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.
Bài 8 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2)
Cho các hệ phương trình sau:
a)
b)
Xem gợi ý đáp án
a) Ta có
Dự đoán: Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng (d):x = 2 song song với trục tung, còn một đồ thị là đường thẳng (d’):y = 2x – 3 cắt hai trục tọa độ.
+) Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (2;0) và song song với trục Oy.
+) Vẽ (d’ ): y =2x- 3
Cho x = 0 ⇒ y = -3 ta được A(0; -3).
Cho y = 0 ta được
Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại N(2; 1).
Thay x = 2, y = 1 vào hệ phương trình
ta được
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).
b)
Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng (d): cắt hai trục tọa độ, còn một đồ thị là đường thẳng (d’):y = 2 song song với trục hoành.
+) Vẽ
Cho x = 0 ta được
Cho y = 0 ⇒ x = 2 ta được B(2; 0).
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
+) Vẽ y = 2 là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (0;2) trên trục tung và song song với trục hoành (Ox)
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2).
Thay x = -4, y = 2 vào hệ phương trình
ta được
(luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).
Bài 9 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)
b)
Xem gợi ý đáp án
a) Ta có:
Suy ra a = -1, a’ = -1; b = 2, nên a = a’, b ≠ b’.
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.
b) Ta có:
Ta có: nên a = a’, b ≠b’.
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau nên hệ đã cho vô nghiệm.
Bài 10 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2)
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)
b)
Xem gợi ý đáp án
a. Ta có:
Suy ra
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
b)Ta có:
Suy ra
Do đó hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 11 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 2)
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?
Xem gợi ý đáp án
Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt
⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.
Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.
Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn+ Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
trong đó ax + by = c và a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Đối với hệ phương trình (I), ta gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax + by = c và (d’) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình a’x + b’y = c’.
+ Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
+ Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.
+ Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.
4. Ví dụ minh họa
Câu 1: Tìm hai nghiệm của phương trình x + y = 2 (1)
Lời giải:
+ Cho y = 0 ⇒ x = 2 → (2; 0) là một nghiệm của phương trình (1).
+ Cho y = 1 ⇒ x = 1 → (1; 1) là một nghiệm của phương trình (1).
⇒ (2; 0); (1; 1) là hai nghiệm cần tìm của phương trình x + y = 2.
Câu 2: Cho hai cặp số (1; 2) và (0; 1). Hỏi cặp nào là nghiệm của phương trình 2x + 3y = 8 ?
Lời giải:
+ Ta có 2.1 + 3.2 = 8 ⇒ (1; 2) là cặp nghiệm của phương trình 2x + 3y = 8.
+ Ta có 2.0 + 3.1 = 3 ≠ 8 ⇒ (0; 1) không phải là cặp nghiệm của phương trình 2x + 3y = 8
Câu 3: Cặp số (1:1) có phải là nghiệm của phương trình x + y = 1 không?
Hướng dẫn:
Ta có: 1 + 1 = 2 ≠ 1 nên (1;1) không là nghiệm của phương trình x + y = 1
