Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Giải bài tập SGK Toán 9 trang 89, 90 giúp các em học sinh lớp 9 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 7: Tứ giác nội tiếp thuộc Hình học 9 Chương 3. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 7 Chương III Hình học 9 tập 2. Chúc các em học tốt.

Bạn đang đọc: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Lý thuyết Tứ giác nội tiếp

    1. Khái niệm tứ giác nội tiếp

    Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp2. Định lý.

    + Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

    + Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

    3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

    + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

    + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

    + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

    + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

    + Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

    Giải bài tập toán 9 trang 89, 90 Tập 2

    Bài 53 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2)

    Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau (nếu có thể).

    Trường hợp 1 2 3 4 5 6
    Góc A 800 600 950
    Góc B 700 400 650
    Góc C 740
    Góc D 980

    Xem gợi ý đáp án

    Theo đề bài ta có ABCD là tứ giác nội tiếp Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 1:

    Ta có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Vậy các góc còn lại là: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 2:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 3:

    Ta có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Ta có thể chọn Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 4:Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Còn lại Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp. Chẳng hạn chọn Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 5: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    – Trường hợp 6:Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:

    Trường hợp 1 2 3 4 5 6
    Góc A 800 750 600 1000 1060 950
    Góc B 700 1050 700 400 650 820
    Góc C 1000 1050 1200 800 740 850
    Góc D 1100 750 1100 1400 1150 980

    Bài 54 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2)

    Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

    Xem gợi ý đáp án

    Vẽ hình minh họa

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Tứ giác ABCD có Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp mà hai góc Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếpGiải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp là hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

    Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, khi đó OA=OB=OC=OD (cùng bằng bán kính của đường tròn (O) )

    + Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn AB

    + Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn AC

    + Vì OD = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn BD

    Do đó các đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

    Bài 55 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2)

    Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Hãy tính số đo các góc Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếpGiải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Xem gợi ý đáp án

    Vẽ hình minh họa

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Ta có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(1)

    +) ∆MBC là tam giác cân cân tại M (MB= MC) nên Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    +) ∆MAB là tam giác cân tại M (MA=MB) nên Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (theo (1)

    Vậy Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Ta có:Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn).

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

    Vậy Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (vì C nằm trên cung nhỏ cung BD).

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (4)

    Ta có: ∆MAD là tam giác cân cân tại M (MA= MD).

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (5)

    Có ∆MCD là tam giác vuông cân tại M (MC= MD) và Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp. (6)

    Theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD ta có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải bài tập toán 9 trang 89 Tập 2: Luyện tập

    Bài 56 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2)

    Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Xem gợi ý đáp án

    Ta có Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (hai góc đối đỉnh)

    Đặt Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp. Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (góc ngoài của Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp.) (1)

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (góc ngoài của Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp.) (2)

    Lại có Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp. (hai góc đối diện tứ giác nội tiếp). (3)

    Từ (1), (2), (3) suy raGiải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Hay Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Từ (1), ta có:Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Từ (2), ta có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (hai góc kề bù)

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Bài 57 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2)

    Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:

    Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?

    Xem gợi ý đáp án

    * Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    * Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    * Hình thang nói chung và hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

    * Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau:Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Vì AD // CD nên Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(hai góc trong cùng phía), suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp nên là tứ giác nội tiếp.

    Bài 58 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2)

    Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

    b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D,C.

    Xem gợi ý đáp án

    Vẽ hình

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    a) Theo giả thiết tam giác ABC đều nên Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    widehat{ACD}=widehat{ACB} +widehat{BCD} (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (1)

    Do DB = CD nên ∆BDC cân tại D Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Từ đó Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (2)

    Từ (1) và (2) có Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

    b) Vì Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC là trung điểm AD.

    Bài 59 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2)

    Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

    Xem gợi ý đáp ánVẽ hình minh họa

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Do tứ giác ABCP nội tiếp nên ta có:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(1)

    Ta lại có: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(hai góc trong cùng phía do CD//AB). (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Vậy ABCP là hình thang cân, suy ra AP = BC. (3)

    Mà BC = AD (hai cạnh đối của hình bình hành) (4)

    Từ (3) và (4) suy ra AP = AD (đpcm).

    Bài 60 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2)

    Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Xem gợi ý đáp ánKí hiệu như hình vẽ.

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    +) Ta có tứ giác ISTM nội tiếp đường tròn nên:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (kề bù)

    nên suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(1)

    +) Ta có tứ giác IMPN nội tiếp đường tròn nên:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp(kề bù)

    nên suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (2)

    +) Ta có tứ giác INQS nội tiếp đường tròn nên:

    Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp

    Mà  (kề bù)

    nên suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (3)

    Từ (1), (2), (3) suy ra Giải Toán 9 Bài 7: Tứ giác nội tiếp (hai góc ở vị trí so le trong).

    Do đó QR // ST.

    Để lại một bình luận

    Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *