Giải bài tập Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp để xem gợi ý giải các bài tập trang 91, 92 thuộc chương trình Hình học lớp 9 tập 2.
Bạn đang đọc: Giải Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 91, 92 Toán lớp 9 tập 2. Qua đó giúp học sinh lớp 9 tham khảo nắm vững hơn kiến thức trên lớp. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm tài liệu: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mời các bạn cùng theo dõi bài tại đây.
Giải Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
Lý thuyết Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
1. Định nghĩa
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
2. Định lí
Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp
Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều.
Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:
Giải bài tập toán 9 trang 91, 92 Tập 2
Bài 61 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 2)
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
Xem gợi ý đáp ánVẽ hình minh họa
a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH
Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 62 (trang 91 SGK Toán 9 Tập 2)
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
Xem gợi ý đáp án
Vẽ hình
a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b) Gọi A’;B’;C’ lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA’;BB’;CC’ của tam giác đều ABC).
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.
Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính AA’:
Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có AC=3;, theo định lý Pytago ta có
Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (cm).
c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.
Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.
Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.
Ta có: (cm).
d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).
Bài 63 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 2)
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Xem gợi ý đáp án
Vẽ hình:
+) Hình a.
Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối
với
với
với A 1 ta được hình lục giác đều
nội tiếp đường tròn
Tính bán kính:
Gọi là cạnh của đa giác đều có i cạnh.
là tam giác đều)
+) Hình b.
Cách vẽ:
+ Vẽ đường kính của đường tròn tâm O.
+ Vẽ đường kính
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.
Nối với
với
với A_4;A4 với A1 ta được hình vuông
nội tiếp đường tròn (O).
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.
Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông có
+) Hình c:
Cách vẽ như câu a) hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác như trên hình c.
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.
Trong tam giác vuông ta có:
Từ đó
Bài 64 (trang 92 SGK Toán 9 Tập 2)
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung sao cho:
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Xem gợi ý đáp án
Vẽ hình
a) Xét đường tròn (O) ta có:
(góc nội tiếp chắn
(1)
( góc nội tiếp chắn
) (2)
Từ (1) và (2) có:
(3)
và
là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.
Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và
b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:
Vậy
c) Vì nên
(góc ở tâm)
=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.
Vì sđ (góc ở tâm)
Kẻ
Tứ giác ABCD là hình thang cân
Lại có vuông cân tại O
Xét vuông tại H ta có:
Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).
