Download.vn Học tập Lớp 10

Bạn đang đọc: Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng

Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10

Giới thiệu Tải về Bình luận

• 1

Mua tài khoản Download Pro để trải nghiệm website Download.vn KHÔNG quảng cáo & tải File cực nhanh chỉ từ 79.000đ. Tìm hiểu thêm Mua ngay

Nhằm đem đến cho quý thầy cô giáo có thêm nhiều tài liệu học tập môn Toán lớp 10, Download.vn giới thiệu tài liệu Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng.

Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng là tài liệu hữu ích, gồm 12 trang, tuyển chọn các phương pháp và bài tập giải hệ phương trình đối xứng có đáp án kèm theo. Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em học sinh lớp 10 vượt qua một chẳng nhỏ trong chặng đường chinh phục toán học. Mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng lớp 10

Diễn đàn Toán học VMFCHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNHPhạm Hùng Vương Học sinh lớp 12C1 trường THPT Phan Đăng Lưu, Nghệ AnI. Lời nói đầu.Chuyên đề là kết quả thu được qua một thời gian học tập và nghiên cứu của bản thân vềhệ phương trình. Tuy nhiên có thể nói rằng, đó là sự kết tinh qua nhiều thế hệ, là sự giúp đỡ,là sự học hỏi từ những người bạn của mình cũng như rất nhiều yếu tố khác.Để đạt hiệu quả cao khi tham khảo chuyên đề này, xin được trích dẫn mấy lời của nhà giáoG.Polya: “ […] Một số bài toán có nêu lời giải đầy đủ (tuy vắn tắt), đối với một số bài khác, chỉvạch ra mấy bước giải đầu tiên, và đôi khi chỉ đưa ra kết quả cuối cùng.Một số bài toán có kèm thêm chỉ dẫn để giúp người đọc giải được dễ dàng hơn. Chỉ dẫncũng có thể nằm trong những bài toán khác ở gần bài toán đang xét. Nên đặc biệt lưu ý đếnnhững nhận xét mở đầu trước từng bài tập hay cả một nhóm bài tập gặp thấy trong chương.Nếu chịu khó, gắng sức giải một bài toán nào đó thì dù không giải nổi đi chăng nữa, bạnđọc cũng thu hoạch được nhiều điều bổ ích. Chẳng hạn, bạn đọc có thể giở ra xem (ở cuốnsách) phần đầu mỗi lời giải, đem đối chiếu với những suy nghĩ của bản thân mình, rồi gấpsách lại và thử gắng tự lực tìm ra phần còn lại của lời giải.Có lẽ thời gian tốt nhất để suy nghĩ, nghiền ngẫm về phương pháp giải bài toán là lúc bạnvừa tự lực giải xong bài toán hay vừa đọc xong lời giải bài toán trong sách, hay đọc xong phầntrình bày phương pháp giải trong sách. Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, và các ấn tượnghãy còn “nóng hổi”, nhìn lại những nổ lực vừa qua của mình, bạn đọc có thể phân tích sâusắc tính chất của những khó khăn đã vượt qua. Bạn đọc đọc có thể tự đặt cho mình nhiềucâu hỏi bổ ích: “Khâu nào trong quá trình giải là quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu là ở chỗnào? Ta có thể làm gì cho tốt hơn? Chi tiết ấy mình cũng đã liếc qua mà không chú ý đến -muốn “nhìn thấy” chi tiết này thì đầu óc phải có tư chất ra sao? Liệu ở đây có một cách gì đóđáng lưu ý để sau này gặp một tình huống tương tự, ta có thể áp dụng được không?” Tất cảnhững câu hỏi đó đều hay cả, và cũng còn nhiều câu hỏi bổ ích khác nữa, nhưng câu hỏi haynhất chính là câu hỏi tự nhiên nảy ra trong óc, không cần ai gợi ý cả!”(trích “Mấy lời khuyên và chỉ dẫn” -G.Polya trong “Sáng tạo toán học”)Do thời gian cũng như 1 số vấn đề khác như kiến thức, trình bày,.. mà chuyên đề này cònkhá nhiều khiếm khuyết. Rất mong được các bạn quan tâm và chia sẻ đề hoàn thiện chuyênđề hơn. Hi vọng nó sẽ là tài liệu bổ ích giúp chúng ta vượt qua 1 chẳng nhỏ trong chặng đườngchinh phục toán học.II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CŨ.1. Hệ phương trình đối xứng kiểu I.Nhận dạng:Hệ đối xứng kiểu I: gồm 2 phương trình ẩn x,y mà vai trò x,y trong mỗi phương trình là nhưnhau. Ví dụ:½a(x + y) +bx y =cx2+y2=c. Và phương pháp giải là đặt ẩn phụ:½S = x + yP = x y. Giải tìm S,Psau đó sử dụng định lí Vi-et, dễ thấy x, y là nghiệm của phương trình: X2−S.X +P =0Cùng xem xét 1 vài ví dụ (cách giải và một số hướng giải quyết mới)1Diễn đàn Toán học VMFVí dụ 1— (Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Bến Tre năm 2009-2010)Giải hệ phương trình:½x2+y2−2x −2y = 6x + y −xy = 5Lời giải: Đặt S = x +y, P = x y, ta thu được hệ mới tương đương:½S2−2P −2S =6S −P =5⇔½S2−4S +4 =0P = S −2⇔½S =2P = −3Như vậy, theo định lí Vi-ét, x, y là nghiệm của phương trình:X2−2X −3 =0 ⇔(X −3)(X +1) =0 ⇒·x = 3, y = −1x = −1, y = 3Vậy hệ có 2 nghiệm (x; y) thỏa mãn là: (−1; 3) và (3; −1).Những bài như thế này và bài giải như vậy đã trở nên quen thuộc, không còn mới lạ. Tuynhiện, cũng có 1 số bài hệ, dù biết là đối xứng kiểu I, nhưng lại phải làm gì để sử dụng được?Hãy xem ví dụ:Ví dụ 2— (ĐH-CĐ Khối A năm 2006)Giải hệ phương trình:½x + y −px y =3px +1 +py +1 =4Lời giải:Ý tưởng 1: Bình phương hai vế của pt dưới hệ thành½x + y −px y =3x + y +2 +px y +x +y +1 =16Thử đặt như cũ: S = x + y, P = x y, hệ khi đó trở thành:½S −pP = 3S +2pP +S +1 =14⇔(S =pP +32pP +pP +4 =11 −pP⇔S =pP +33P −26pP −105 =00 ≤P ≤ 121Đến đây, giải tìm P , sau đó quay lại giải tìm ra nghiệm x, y. ( chú ý điều kiện)Hơn nữa, luôn nhớ: S2≥4P để loại bớt nghiệm.Ý tưởng 2: Đặt ẩn a =px +1, b =py +1 nhằm làm đơn giản 1 phương trình của hệ. (kĩ thuậtđặt ẩn làm gọn này rát có ý nghĩa, đặc biệt trong bất đẳng thức (BĐT) có giả thiết rườm rà,với phương trình hay hệ cũng vậy). Khi đó:HPT ⇔½a +b =4a2+b2−2 −p(a2−1)(b2−1) =3⇔½S =4S2−2P −2 −pP2−S2+2P +1 =3⇔½S =4pP2+2P −15 =11 −2PTrong đó S = a +b, P = ab. Đến đây, ta cũng có thể giải tương tự.2Diễn đàn Toán học VMFVí dụ 3— (Thi thử ĐH-CĐ, THPT chuyên Nguyễn Huệ 2011)Giải hệ phương trình:½px +1 +py −1 =4px +6 +py +4 =6Ví dụ 4— (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nghệ An năm 2009-2010)Giải hệ phương trình:1x+1y+1z=22x y−1z2=4Ví dụ 5— Giải hệ phương trình:½(x + y)(1 +x y) = 4x y(x2+y2)(1 +x2y2) =4x2y2Thực ra, dạng hệ đối xứng kiểu I có hướng giải khá đơn giản, rõ ràng với việc đặt ẩn và sửdụng định lí Vi-ét. Chính vì vậy mà hệ đối xứng kiểu I thường gắn với việc giải và biện luận,một sở trường của phương pháp này! Chúng ta cùng xét một số ví dụ sau.Ví dụ 6— (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hà Nội năm 2009-2010)Tìm a để hệ phương trình½ay +x +y = a +1x2y +x y2= acó nghiệm duy nhất.Lời giải: Đặt : S = x +y, P = x y, ta có hệ mới:½S +P = a +1SP = aTheo Vi-ét, S và P là nghiệm của phương trình: X2−(a +1)X +a = 0 (1)Hơn nữa, cũng theo Vi-ét x, y lại là nghiệm của phương trình: X2−S.X +P =0 (2).Do đó, để hệ có 1 nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất, tức ∆(2)= 0 ⇔ S2= 4P ⇔ x = yHoặc có thể dùng nhận xét: do vai trò x, y trong mỗi phương trình của hệ là như nhau nênnếu hệ có nghiệm (m;n) thì nó cũng có nghiệm (n;m). Như vậy để hệ có nghiệm duy nhất thìcần có x = y. Thế vào được:½x2+2x = a +12x3= a⇔(x2+2x −(a +1) =0 (∗)x =3qa2Để hệ có nghiệm duy nhất thì (∗) có duy nhất 1 nghiệm x =−22.1=−1 ⇒3ra2=−1 ⇔ a = −2.Thử lại thấy thỏa mãn. Kết luân giá trị cần tìm là a =−2.Ví dụ 7— (Đề thi HSG lớp 9 Tỉnh Hưng Yên năm 2009-2010)Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:½px +py =mx + y −px y =mVí dụ 8— (Thi thử ĐH-CĐ THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên 2011)Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:½px +1 +py +1 = ax + y = 2a +13