Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9 là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 chương trình mới.
Bạn đang đọc: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
Cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN lớp 9 tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, cách chứng minh kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn lớp 9
I. Định nghĩa GTLN, GTNN
– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
– Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:
f(x) ≤ m với mọi x ∈ D
Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.
– Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:
f(x) ≥ m với mọi x ∈ D
Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.
II. Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn.
Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a,b] .
Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a,b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a,b] làm cho f'(x) không xác định.
Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M=max f(x), [a,b] ; m= min f(x), [a,b]
Lưu ý:
– Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên khoảng, nửa đoạn làm tương tự.
– Trong trường hợp trên khoảng đó không tồn tại giá trị f’(x) = 0 hoặc không xác định thì kết luận không tìm được GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Dạng 2. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số vào bài toán thực tế.
Bước 1: Từ các điều kiện của bài toán xây dựng hàm số.
Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa xây dựng trên tập xác định của nó phù hợp với yêu cầu bài toán.
Bước 4: Kết luận.
III. Cách giải bài toán tìm gtln, gtnn lớp 9
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm
Phương pháp:
– Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra: 
0} right)” width=”168″ height=”25″ data-type=”0″ data-latex=”A = {A_1}^2 + k;left( {k > 0} right)” data-i=”1″ data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=A%20%3D%20%7BA_1%7D%5E2%20%2B%20k%3B%5Cleft(%20%7Bk%20%3E%200%7D%20%5Cright)”>
– Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra: 0} right)” width=”183″ height=”25″ data-type=”0″ data-latex=”A =- {A_1}^2 – k;left( {k > 0} right)” data-i=”2″ data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=A%20%3D-%20%7BA_1%7D%5E2%20-%20k%3B%5Cleft(%20%7Bk%20%3E%200%7D%20%5Cright)”>
3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
IV. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định x ≥ 0
Để A đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất
Có
Lại có
Dấu “=” xảy ra
Min
Vậy Max
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
|
a. |
b. |
Gợi ý đáp án
a. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b. Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Gợi ý đáp án
Điều kiện xác định:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài 4: Cho biểu thức
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gợi ý đáp án
Cách 1
a, với x > 0, x ≠ 1
b, với x > 0, x ≠ 1
Với x > 0, x ≠ 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy có:
Dấu “=” xảy ra (thỏa mãn)
Vậy max
Cách 2: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:
Như vậy P ≤ -5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay x = 1/9
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Cách 3: Dùng miền giá trị để đánh giá
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
(P
Để tổn tại P thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:
∆ = (P – 1)2 – 36 ≥ 0 ⇔ (P – 1)2 ≥ 36 ⇔ P – 1 ≤ -6 (Do P
Như vậy P ≤ -5 khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Bài 5: Cho biểu thức với x ≥ 0, x ≠ 4
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Gợi ý đáp án
a, với x ≥ 0, x ≠ 4
b, Có
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy min
Bài 6.
Cho hai số thực a,b # 0 thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của
Gợi ý đáp án
Ta giả thiết ta có:
Mặt khác
Bài 7
Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn . Tìm min, max của A= xy+2024
Gợi ý đáp án
Từ giả thiết ta có:
Mặt khác
Bài 8
Cho x, y khác 0 biết . Tìm x,y để B=xy đạt GTLN, GTNN
Hướng dẫn giải
Ta có
Mặt khác
V. Bài tập tự luyện tìm GTLN, GTNN
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
|
a. |
b. |
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
|
a. |
b. |
|
c. |
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức: . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
0} right)” width=”335″ height=”50″ data-type=”0″ data-latex=”B = frac{{{x^2} + sqrt x }}{{x – sqrt x + 1}} – frac{{2x + sqrt x }}{{sqrt x }} + 1;left( {x > 0} right)” data-i=”24″ data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=B%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7Bx%20-%20%5Csqrt%20x%20%20%2B%201%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B2x%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20%2B%201%3B%5Cleft(%20%7Bx%20%3E%200%7D%20%5Cright)”>
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Bài 7: Với x > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
| a, |
b, |
c, |
| d, |
e, |
Bài 8: Cho biểu thức
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 9: Cho biểu thức
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 10: Cho biểu thức
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn M
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 12. Cho x,y khác 0 thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của A= xy
Bài 13. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của A= xy
3. Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
| a, |
b, |
| c, |
d, |
