Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là tài liệu vô cùng quan trọng, hữu ích với các bạn học sinh lớp 7. Tài liệu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông bao gồm kiến thức lý thuyết, các trường hợp bằng nhau của tam giác, ví dụ minh họa và các dạng bài tập trắc nghiệm, tự luận tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều nguồn tư liệu học tập, nắm vững kiến thức hình học.
Bạn đang đọc: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông cũng là phần kiến thức thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 7. Chính vì thế việc nắm vững các kiến thức về tam giác rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hi vọng qua bài học này sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết về tam giác từ đó vận dụng giải các bài toán một cách dễ dàng hơn.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
A. Khái niệm hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C”.
B. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
*Hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh )
*Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc )
*Cạnh huyền – góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc)
*Cạnh huyền – cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
C. Ví dụ minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Ví dụ 1:
Cho ΔABC cân ở A (∠A o). Vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC), CK ⊥ AB (K ∈ AB).
a) Chứng minh rằng AH = HK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A
Trả lời
Vẽ hình minh họa:
a) ΔABC cân tại A (giả thiết)
Suy ra
AB = AC (tính chất)
(định lí)
Xét hai tam giác vuông HAB và KAC, ta có:
AB = AC (chứng minh trên)
chung
⇒ ΔHAB = ΔKAC (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = AK (cặp cạnh tương ứng)
b) Xét hai tam giác vuông KAI và HAI, ta có:
AH = AK (chứng minh trên)
AI cạnh chung
⇒ ΔHAI = ΔKAI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
(cặp góc tương ứng)
Hay AI là tia phân giác của
Ví dụ 2: Các tam giác vuông ABC và DEF có góc A = góc D = 90o, AC = DF. Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau để ΔABC = ΔDEF.
Trả lời
+ Bổ sung AB =DE thì ΔABC = ΔDEF (cạnh – góc – cạnh)
+ Bổ sung thì ΔABC = ΔDEF (góc – cạnh – góc)
+ Bổ sung BC = EF thì ΔABC = ΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng
a) HB = HC
b) góc BAH = góc CAH
Trả lời
a) Xét hai tam giác vuông ΔABH và ΔACH có:
AB = AC (giả thiết)
AH cạnh chung
⇒ ΔABH = ΔACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra HB = HC (cặp cạnh tương ứng)
b) Ta có ΔABH = ΔACH (chứng minh trên)
(cặp góc tương ứng)
Ví dụ 4
Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?
Gợi ý đáp án:
a) Xét 2 tam giác vuông ABC và ADC có:
AC chung
Delta ABC = Delta ADC(g.c.g)” width=”232″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta ABC = Delta ADC(g.c.g)” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20ABC%20%3D%20%5CDelta%20ADC(g.c.g)”>
b) Xét 2 tam giác vuông HEG và GFH có:
HE=GF(gt)
HG chung
Delta HEG = Delta GFH(c.h-c.g.v)” width=”287″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta HEG = Delta GFH(c.h-c.g.v)” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20HEG%20%3D%20%5CDelta%20GFH(c.h-c.g.v)”>
c) Xét 2 tam giác vuông QMK và NMP có:
QK=NP
Delta QMK = Delta NMP” width=”191″ height=”19″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta QMK = Delta NMP” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20QMK%20%3D%20%5CDelta%20NMP”>(cạnh huyền – góc nhọn)
d) Xét 2 tam giác vuông VST và UTS có:
VS=UT
ST chung
Delta VST = Delta UTS(c.g.c)” width=”225″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta VST = Delta UTS(c.g.c)” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20VST%20%3D%20%5CDelta%20UTS(c.g.c)”>
Ví dụ 6
Cho hình 4.56, biết . Chứng minh rằng
.
Gợi ý đáp án:
Vì tổng 3 góc trong 1 tam giác luôn bằng 180 độ.
Xét hai tam giác AED và DEC có:
(đối đỉnh) và
.
Suy ra:
Xét 2 tam giác vuông AEB và DEC có:
AB=DC
Delta AEB = Delta DEC(g.c.g)” width=”233″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta AEB = Delta DEC(g.c.g)” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20AEB%20%3D%20%5CDelta%20DEC(g.c.g)”>
Ví dụ 7
Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng .
Gợi ý đáp án:
Xét 2 tam giác vuông ABM và DCM có:
AB=DC (tính chất hình chữ nhật)
BM=CM (gt)
Delta ABM = Delta DCM(c.g.c)” width=”243″ height=”22″ data-type=”0″ data-latex=”=>Delta ABM = Delta DCM(c.g.c)” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3D%3E%5CDelta%20ABM%20%3D%20%5CDelta%20DCM(c.g.c)”>
D. Bài tập trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
I. Lý thuyết:
Câu 1: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 2: Phát biểu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho mỗi trường hợp?
Câu 3: Phát biểu định lí một đường thẳng vuông góc với mọt trong hai đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 4: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh họa?
Câu 5: Phát biểu định lí ba đường thẳng song song? Ghi giả thiết kết luận? Vẽ hình minh?
Câu 6: Các em tự tìm hiểu những t/c, định lí nào có liêu quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác? Kể tên?
II. Bài tập:
A. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho tam giác ABC có . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. Biết
a) Chứng minh
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của
c) Giả sử . Tính các góc còn lai của tam giác DAE.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh DABC = DABD
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.
Bài 4. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a) D AOI = D BOI.
b) AB vuông góc OI..
Bài 5. Cho có
. Kẻ tia phân giác
của
( D thuộc BC). Trên canh AC lấy điểm E sao cho A E=A B, trên tia A B lấy điểm F sao cho A F=A C. Chứng minh rằng:
c) FDE thẳng hàng.
Bài 6. Cho góc nhọn . Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA=OB ;OC=OD. (A nằm giữa O và C; B Nằm giữa O và D).
a) Chứng minh
b) So sánh 2 góc và
Bài 7. Cho DABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.
a) Chứng minh DABC = DABD
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.
Bài 8. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:
a) D AOI = D BOI.
b) AB vuông góc OI.
Bài 9. Cho DABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.
Bài 10. Cho vuông tai
a) Tính
b) Trên canh , lấy điểm D sao cho BD=BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tai E. Chứng minh
c) Qua c, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H, CH cắt AB tại F. Chứng minh
d) Chứng minh và ba điểm D, E, F thẳng hàng
Bài 11. Cho , có
và M là trung điểm của BC
a) Chứng minh
b) Qua A vẽ Chứng minh
và a / / B C
c) Qua C, vẽ b/ / AM. Goi N là giao điểm của hai đường thẳng a và b. Chứng minh
d) Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn MN
Bài 12. Cho , gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Chứng minh rằng:
a)
b) AB = AC và AB//CD
c)
d) Trên các đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=AF. Chứng minh E, M, F thẳng hàng
Bài 13. Cho vuông tai
. Tia phân giác của
cắt AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE= BA. Vẽ
tại H. Chứng minh rằng:
a) và
b)
c) Trên tia lấy điểm K sao cho DK=AH. Gọi M là trung điểm của đoan DH
Chứng minh A, M, K thẳng hàng
Bài 14. Cho , Gọi D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
a) AD = EF
b) AE = EC
Bài 15. Cho . Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB và AC. Lấy P sao cho N là trung điểm của MP. Chứng minh rằng:
b) , Từ đó suy ra
Bài 16. Cho nhọn. Lấy A trên Ox, B trên Oy sao cho OA=OB. Qua A kẻ đưởng thẳng vuông góc với
cắt Oy tại M, qua B kẻ đt vuông góc Oy cắt Ox tại N. Gọi H là giao điểm của AM và BN, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:
a) ON = OM
b) Ba điểm O, H, I thẳng hàng
Bài 17. Cho có
, kẻ
là các tia phân giác của
cắt
tại I
a) Tính
b) Kẻ IF là các tia phân giác của . Chứng minh rằng:
Bài 18. Cho nhọn. Vẽ về phía ngoài
các đoạn thẳng
và
Kẻ , EK vuông góc với đường thẳng
. Chứng minh rằng:
Bài 19. Cho . Trên cạnh AB lấy M và N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đt song song với BC, cắt AC thứ tự tại D và E. Cmr:
Bài 20 :
Vẽ góc nhọn xAy. Trên tia Ax lấy hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Trên tia Ay lấy hai điểm D và E sao cho AD = AB; AE = AC
a) Chứng minh BE = DC
b) Gọi O là giao điểm BE và DC. Chứng minh tam giác OBC bằng tam giác ODE.
c) Vẽ trung điểm M của CE. Chứng minh AM là đường trung trực của CE.
Bài 21.
Cho tam giác ABC ( AB
a) Tam giác AIB bằng tam giác CID.
b) AD = BC v à AD // BC.
Bài 22
Cho tam giác ABC có góc A =350 . Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.
b) Chứng minh AB//HD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BE (Điểm E thuộc cạnh AC), đường thẳng qua E vuông góc với BC tại D và cắt tia BA tại F:
a. Chứng minh hai tam giác EAB và EDB bằng nhau.
b. So sánh EA và EC va chứng minh EC = EF.
c. Gọi O là giao điểm của đường thẳng BE và CE. Chứng minh OA = OD.
Bài 24: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.
b) Chứng minh AM vuông góc BC.
c) Chứng minh AM là phân giác của góc A.
Bài 25: Cho hình vẽ, biết . Chứng minh rằng:
a. ∆ABD = ∆ACD.
b. ∆DBE = ∆DCH.
c. ∆ABH = ∆ACE.
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH = BA.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD.
b) Chứng minh DH vuông góc với BC.
c) Giả sử góc . Tính số đo góc ADB.
Bài 5: cho tam giác ABC vuông tại B, đường phân giác AD (D thuộc BC). Kẻ BO vuông góc với AD (O thuộc AD), BO cắt AC tại E. Chứng minh:
a. ∆ABO = ∆AEO.
b. ∆BAE cân.
c. AD là đường trung trực của BE.
d. Kẻ BK vuông góc với AC (K ∈ AC). Gọi M là giao điểm của BK và AD. Chứng minh rằng ME// BC.
B. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° . Cần điều kiện gì để tam giác ABC bằng tam giác NPM theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông?
A. BA = PM
B. BA = PN
C. CA = MN
D. ∠A = ∠N
Ta có hai tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, ∠B = ∠P = 90° mà BC, PM là hai cạnh góc vuông của tam giác ABC và NPM nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện CA = MN
Chọn đáp án C.
Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác MNP có ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠P. Cần điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?
A. AC = MP
B. AB = MN
C. BC = NP
D. AC = MN
Ta có: ∠C = ∠P mà góc C và góc P là hai góc nhọn kề của tam giác ABC và tam giác MNP
Do đó để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh hóc vuông – góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện AC = MP
Chọn đáp án A.
Bài 3: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có: ∠B = ∠E = 90°, AC = DF, ∠A = ∠F. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔFED
B. ΔABC = ΔFDE
C. ΔBAC = ΔFED
D. ΔABC = ΔDEF
Chọn đáp án A.
Bài 4: Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: ∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ΔABC = ΔKHI
B. ΔABC = ΔHKI
C. ΔABC = ΔKIH
D. ΔACB = ΔKHI
Xét tam giác ABC và tam giác KHI có:
∠A = ∠K = 90°, AB = KH, BC = HI
⇒ ΔABC = ΔKHI
Chọn đáp án A
Bài 5: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, ∠B = ∠E, ∠A = ∠D = 90°. Biết AC = 9cm. Tính độ dài DF?
A. 10cm
B. 5cm
C. 9cm
D. 7cm
Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:
AB= DE, góc B bằng hóc E, góc A bằng góc D bằng 90 độ
⇒ ΔABC = ΔDEF. Khi đó AC = DF = 9cm
Chọn đáp án C
